Descodificando Matemáticas
Aprender a pensar
La Brillantez tiene la obligación no sólo de crear sino también de comunicar.
J.R. Platt
¿Para qué vamos a la escuela? En esta era de las computadoras y del internet, bien podría aprenderse todo el conocimiento existente navegando a través de las cientos de miles de tutoriales que contienen la Red Eso haría a las escuelas, a los maestros y al sistema educativo, por decir lo menos, obsoletos, y más si consideramos que el sistema educativo premia la memorización y la docilidad antes que otras habilidades y actitudes.
Más allá de la definición de la Real Academia de la Lengua, que dice que pensar es «formar o combinar ideas y juicios en la mente», me gustaría sacar la observación que nos hacía un profesor en la Facultad de Ingeniería cuando nos daban un problema por resolver. – «Lo primero que hay que hacer, es PENSAR», – nos decía. Él se refería a la capacidad humana para resolver una situación que plantea un reto. Podemos decir que:
- Pensamos cuando queremos descubrir cómo funcionan las cosas.
- Pensamos cuando queremos solucionar un problema.
- Pensamos cuando imaginamos los procedimientos detallados para alcanzar una meta.
- Pensamos cuando queremos transformar nuestro entorno.
- Pensamos cuando no nos conformamos con la respuesta fácil o el dogma.
- Pensamos cuando queremos ir más allá de las conveniencias sociales.
- Pensamos porque sabemos que podemos buscar la Verdad hasta sus últimas causas.
Cuando hacemos Matemáticas, ¡vaya que sí estamos pensando! Hacer Matemáticas en un grado superlativo es no sólo resolver de manera mecánica un ejercicio: se trata de descubrir mejores posibilidades con las herramientas que tenemos. Convertir el lenguaje coloquial y pasarlo al lenguaje matemático es una de las cúspides más altas que como estudiante podemos alcanzar. Convertirse en un resolvedor (valga el término) de problemas es una tarea que inicialmente puede verse como difícil, pero es sin duda muy gratificante. De hecho, para ello se crearon las Matemáticas. Y en el camino, se fueron descubriendo bastantes curiosidades más.
¿Cómo convertirse en un «resolvedor de problemas»? Para ello no basta la simple mecanización y la memorización de propiedades. Aquí propongo un método de 7 pasos que lo he usado para muchísimos ejercicios y que comparto, sea de ayuda para el lector.
- LEER detalladamente el enunciado.
- IDENTIFICAR qué se pregunta.
- BUSCAR un modelo o ecuación matemática que halle el punto anterior.
- Si no existe tal modelo, PROPONGA una expresión que se ajuste a los enunciados del problema.
- AYÚDESE con dibujos, esquemas, croquis, tablas o lo necesario para el planteamiento del modelo.
- RESUELVA la ecuación.
- VERIFIQUE que la solución obtenida sea congruente con las condiciones del problema.
Esta propuesta por supuesto que está sujeta a flexibilidad, dependiendo de la complejidad del problema que se esté planteando. Tal vez no sea necesario utilizar dibujos o esquemas o proponer un modelo (tema que analizaremos en otra entrada), pero sí nos da un marco que nos permite minimizar errores y acercarnos a la respuesta óptima.
Si el lector está interesado en ampliar sus habilidades de modelado matemático, le invito a que contacte a su servidor para platicar acerca del curso de Modelado Matemático, útil sobre todo para aquellos que estudian o estudiarán alguna Ingeniería.
Las Matemáticas sirven y son bonitas
La sombra no existe. Lo que tú llamas sombra es la luz que no ves.
Henri Barbusse
En una viejo pero fenomenal corto animado, el pato Donald es guiado por el Espíritu de la Aventura, una voz que lo guía por un breve y sustancioso recorrido en el tiempo y en el espacio, desde Pitágoras y los griegos que descubrieron la Proporción Áurea hasta el mundo moderno de numerosos adelantos técnicos y científicos que hacen la vida moderna más confortable y movida.
En ese recorrido Donald aprende que las Matemáticas no son un invento tormentoso ni inútil, sino todo lo contrario: son la herramienta y el lenguaje más poderoso que podemos utilizar para transformar la naturaleza, entenderla y ponerla al servicio de la humanidad.
Entonces, ¿por qué hay como una aversión y, sino desprecio, sí una tendencia por referirse a esta importante Ciencia como difícil, complicada y casi perversa?
Una razón de ello se debe a una tendencia universal por no querer hacer el esfuerzo de pensar. Pensar es buscar las causas de algo, sin atribuírselo a ningún ser sobrenatural ni espiritual, sino explorar todas los posibles mecanismos de la Naturaleza. Pensar es correlacionar hechos y sucesos a través de una propuesta coherente, sistematizada y lo más cercana a la realidad. En otras palabras, es ayudarse del método científico. Las Matemáticas son una ciencia y al mismo tiempo, un lenguaje. Como lenguaje, tiene reglas que están hechas para evitar ambigüedades y proporcionarnos una comprensión lo más exacta posible de la realidad. Es ahí donde batallamos, en el proceso de adquisición de este lenguaje.
¿Cómo mejorar eso? Existen tantos métodos que, en definitiva, la elección debe recaer en seleccionar aquel que vaya de acuerdo con nuestro presupuesto y forma de aprender. La educación tradicional se basa en la memorización y la mecanización, lo cual es un vicio contraproducente que lejos de formar un gusto por las Matemáticas, provoca todo lo contrario.
Una propuesta que personalmente me ha funcionado, ha sido la siguiente.
- Dale una oportunidad al genio matemático que llevas dentro y no ha surgido aún. ¿Hasta dónde te ha llevado el razonamiento de «las matemáticas son difíciles y no son para mí»? Si eres alumno de secundaria o bachillerato, y durante tu aprendizaje has batallado con esta asignatura, pensando siempre que «es muy difícil» y «no es lo mío», responde con honestidad: ¿te ha servido de algo esa actitud? Hay como una especie de «maldición» cuando nos enfrascamos en esa resistencia y aversión. Si necesitas un resultado diferente, ¿se podría obtenerlo con tu forma de pensar actual? Si la respuesta es no, es tiempo de probar y buscar otro punto de vista.
- Busca apoyo de alguien que no sólo sepa enseñar, sino que disfrute enseñar. Los malos maestros, si bien se aprende de ellos, dejan más herencias negativas y se convierten en el antiejemplo de lo que debería aprenderse. Es por ello, que, si estás en búsqueda de un asesor de Matemáticas, indaga si él o ella tienen ese gusto por la enseñanza. No se necesita que sean espectaculares en la clase, sino que puedan contagiarte de su pasión por los números.
- Realiza ejercicios por y para ti mismo. Nunca te conformes con los mínimos necesarios que te dejen en la escuela o en la asesoría externa. La magia del aprendizaje ocurre cuando nuestra voluntad y determinación parte de nuestro propio esfuerzo y dedicación internos, sin la presión externa. Cuando eres tú quien decide realizar más ejercicios, acercarte a las numerosas plataformas que existen en internet que dan orientaciones excelentes y muchas de ellas libres de pago, no queda otra más que aplicarlas y recorrer la milla extra.
- Comparte tus avances. Cuando eres capaz de mostrar verbal y/o por escrito lo que has aprendido, has tomado un gran paso que va más allá de una calificación. Te has apropiado del conocimiento y éste, siempre estará para tu disposición.
Espero que este escrito haya expandido tus ideas. Mi interés es mostrar que hay soluciones en el aprendizaje de las Matemáticas. Cuando entendemos los conceptos y las estructuras que genios como Pitágoras, Hipatia, Képler, Descartés, Galois, Gauss, Newton y tantos genios han construido para nuestro beneficio, lograremos pensar y admitir con sinceridad, que las Matemáticas sirven y son bonitas.
¿Para qué rayos sirve el TCP (Trinomio Cuadrado Perfecto)?
Vivir es más que un derecho, es el deber de no claudicar al mandato de reflexionar qué es nacer, qué es morir, qué es el amor.
Luis Eduardo Aute
El Ser Humano es el resultado de más de 65 millones de años de evolución desde que surgieron los primeros protomamíferos. Pero sólo los últimos 4 millones de años, con la aparición del Homo Sapiens, con su impresionante inteligencia y conciencia, capaz de alterar su medio ambiente de forma drámatica y a veces irreversible, una herramienta surgida como consecuencia de la creación de la agricultura y la vida en comunidad, es la que ha llevado a este animal a esferas sólo pensadas para improbables dioses.
No hay progreso sin Matemáticas, así de simple. Todas las grandes civilizaciones antiguas tenían conocimientos empíricos desarrollados por grandes mente al servicio de la comunidad. Por mucho que algunos conspiranoides nos quieran vender la idea de que hubo ayuda extraterrestre en la construcción de grandes monumentos; sólo es posible confirmar que mediante un sofisticado sistema de conteo, con operaciones bien definidas o en su caso mediante aproximaciones que incluían las operaciones básicas, fue posible levantar las Pirámides de Gizah, la Calzada de los Muertos en Teotihuacán o los Jardínes Colgantes de Babilonia.
Pero la evolución no acarrea que todos piensen en términos pacíficos. Simultáneamente, la Guerra y el afán de conquista también fueron catalizadores para acelerar los conocimientos sobre el espacio y poder crear mejores armas, más letales y certeras. Al combinar está incipiente Aritmética con el conocimiento empírico de los materiales, surge la Tecnología. Este avance ocurre como sinergia de teoría y praxis, ensayo y error, probar y fallar. Esto es la base del Método Científico. Esto es lo que nos ha separado de las bestias: la inigualable capacidad de cimentar sus avances mediante numerosas herramientas, sean estas visibles o invisibles.
Así llegamos a la pregunta inicial: ¿para qué diantres sirve el Trinomio Cuadrado Perfecto? Así como un cuchillo lo utilizas en cada comida para facilitar la porción de alimento que vas a consumir y por tanto, muestras refinamiento, cultura y educación cuando lo utilizas adecuadamente, aprender Matemáticas no es una mera imposición educativa ni un capricho de las autoridades de la Secretaría de Educación o de la Organización de Cooperación para el Desarrollo Económico. Aprender Matemáticas hasta un nivel de Bachillerato (que incluye conceptos básicos de Cálculo Diferencial e Integral) es una muestra de civilidad, de refinamiento y sin duda, de persistencia, dedicación, orden mental, buen juicio y de disposición por extender la sabiduría personal. Como consecuencia de estas características, el que aprende Matemáticas a estos niveles desarrolla confianza en sí mismo, desarrolla la intuición, crea una estructura mental que le ayudará a tomar mejores decisiones y a comprender otros conceptos más complejos y fascinantes debido al desarrollo de la Ciencia y la Tecnología. Preguntar la utilidad práctica del Trinomio Cuadrado Perfecto es una pregunta que desdeña una puerta que abre un universo inmenso fascinante y lleno de inquietantes sorpresas que sirvieron para el desarrollo de todo el avance tecnológico que tenemos en este inicio del siglo XXI. Se trata de poder entrar a un sinfín de posibilidades, de comprender la magia que esconde el Cosmos y que no está oculto para unos pocos iluminados, sino disponible para todo aquel que quiera evolucionar. No basta con ser Homo Sapiens, hay que hacer lo necesario para que verdaderamente se note.
Cuando vuelvas a preguntar “para qué me sirve tal cosa de Matemáticas”, responde primero: ¿parte mi pregunta de un ansia de aprender o de una ilógica aversión?
Con aprecio para todos los que han sido mis estudiantes en la FI
Errores comunes en Matemáticas de Bachillerato y cómo evitarlos
Los exámenes de Matemáticas suelen traer experiencias atormentadoras cuando se pierden de vista detalles. He visto que muchos chicos que sí son verdaderamente inteligentes sufren de manera inútil por «pequeños grandes errores» que más tarde se convierten en mounstruos horrendos por no haber prestado atención y enfoque en situaciones que no son conflictivas, pero que sí demandan conocer ciertas reglas del juego que, desgraciadamente, muchos maestros pasan por alto. Por ello, te pido que prestes atención al videos siguiente el cual agrupa estas fallas comunes, y que realices las actividades sugeridas para corregirlas.
¿Quieres ayuda con Matemáticas y Física?
La Educación no cambia al mundo. Cambia a las personas que van a cambiar al mundo.
Paulo Freire
En Tzolkin buscamos que las personas construyan su propio aprendizaje. La ventaja de las Matemáticas es que son graduales, son cien por ciento paso a paso, escalón por escalón. Cuando uno de estos escalones no está bien cimentado, avanzar en conocimientos superiores podría ser una experiencia desmotivante, y no tiene por qué ser así. Por ello insistimos en el «paso a paso».
- Ayudamos a identificar cuál escalón o escalones de tu aprendizaje están frágiles, para reaprender conceptos mal asimilados.
- Proponemos una rutina de trabajo remedial personalizada, queremos que el estudiante sea capaz de aprender por sí mismo.
- Actuamos para que el Aprendizaje sea una experiencia satisfactoria y de progreso.
Aprender a pensar es una ventaja competitiva en estos tiempos. Desarrollar la inteligencia lógico-matemática no es simplemente resolver ejercicios de manera mecánica, sino razonar e interpretar lo que se está trabajando. Las ventajas de aprender a resolver con soltura ejercicios matemáticos radican en una mayor creatividad, intuición, y ampliar la capacidad de toma de decisiones, por no nombrar la sensación de logro y una autoestima creciente.
En concreto, nuestro servicio puede ser mediante:
- Clases particulares, de 2 horas de duración.
- Cursos completos para preparar:
- Exámenes extraordinarios.
- Exámenes de admisión a Secundaria, Preparatoria o Nivel Superior.
- Talleres especiales (actualmente se ofrece el de «Modelado Matemático»)
Estos servicios pueden ofrecerse en línea, a domicilio o en Tzolkin House.
Si requieres conocer un poco de nuestro trabajo, conoce nuestros tutoriales.
Sobre los precios, llena la forma al final de esta entrada solicitando información por promociones.
¡Será un gusto poder atenderte!
Cuando las Matemáticas deciden una Guerra
Si cada hombre tiene un conjunto de reglas de conducta por medio de las cuales regula su vida, no sería mejor que una máquina. Pero no hay tales reglas, por lo tanto, los hombre no pueden ser máquinas.
Alan Turing
Cuando vemos una película con la clásica leyenda «basada en una historia real», debemos entender que se trata de una visión sesgada que tiene cierto propósito, como buscar un cambio de opinión hacia un evento o persona, o que puede ser simplemente hacer un homenaje al legado de un individuo. Nunca hay que tomarla como la narración de hechos al pie de la letra, porque somos humanos y tenemos nuestras propias inclinaciones y aversiones, voluntarias o inconscientes. Por ello, es factible equivocarse o hacer exageradas propuestas, y en el «Código Enigma» podemos encontrar subjetividades que vale la pena mencionar.
Las Matemáticas tienen la gran utilidad de que no se decantan por sentimentalismos. Son llanamente áridas y secas. Se crearon para darnos una idea de cómo funciona el Universo. Pero también, son una herramienta, pues nos permiten predecir eventos. Así fue como varios pueblos mayas sabían con antelación la fecha de eclipses y otros fenómenos astronómicos. Y como lenguaje, en un momento dado, sirven para codificar ideas y mensajes, los cuales, para ser entendidos pueden necesitar de un código para descifrarlos. Esta situación es particularmente útil cuando uno quiere transmitir ciertas intenciones de manera que sólo unos cuantos (los que tienen la clave de desciframiento) puedan conocer.
Imagina estimado lector, si estos mensajes son las órdenes de un alto mando militar, con las instrucciones de objetivos, acciones y toda la logística involucrada en la red de un conflicto bélico. Es obvio el por qué estos mensajes tenían que ser codificados. Y en realidad así ocurrió durante la Segunda Guerra Mundial. La Alemania Nazi tenía una máquina especial que se encargaba de codificar mensajes y cada día era configurada de manera diferente para que aquéllos resultaran indescifrables. Y por supuesto que esto daba dolores de cabeza a los aliados, principalmente a la Gran Bretaña de Winston Churchill, que veía caer todos los días a numerosos hijos suyos por no poder predecir las acciones de su enemigo.
Si bien era posible interceptar los mensajes mediante el telégrafo, no servía de mucho tenerlos si no se contaba con la configuración del aparato para revelar la nota en clave. Más aún, se podía contar con más de un trillón de posibilidades para encriptarlos, lo que hacía indescifrable el mensaje. A pesar de tener al mejor grupo de criptógrafos del Reino Unido y un ejército de interceptadores de mensajes, hubieran necesitado eones para poder encontrar la combinación adecuada. Pero todo cambio hasta que llego Alan Turing.
Alan Turing es el héroe de esta película, pero no es el clásico fortachón y osado personaje al que estamos acostumbrados. Es ante todo, un matemático, tal vez el genio inglés más impresionante desde Isaac Newton. Él es un académico sin preparación bélica. Pero es el único que puede entender cómo enfrentar esta batalla. Y de ahí el nombre verdadero de la película, «The Imitation Game», el Juego de la Imitación. La partida no se gana pensando de la forma tradicional como hacemos los humanos, sino confrontando a una máquina contra otra máquina. Y en este juego perderá el primero que saque su lado humano, el primero que muestre sentimentalismos y compasión.
«The Imitation Game» es una película que nos puede ayudar a entender el valor de las Matemáticas como herramienta, además de comprender que la aceptación y el reconocimiento a las diferencias, enaltece y libera el potencial de los Seres Humanos, a través de uno de los legados más extraordinarios y que hasta hace poco fue verdaderamente reinvindicado.
A menudo, la Lógica, la gran ciencia articulada por Sócrates y otros grandes genios de la Filosofía, nos ayuda para comprender las intenciones detrás del razonamiento de una persona. Las Matemáticas, una rama de la Filosofía, nos permite construir las claves para construir nuevos razonamientos. Pero es el valor de lo que nos hace humanos, nuestra amalgama de sentimientos y emociones, la que nos permite mantenernos con vida y preservarla. La vida y obra de Alan Turing se mantuvo oculta por convencionalismos culturales estúpidos que no alcanzan a comprender que los Seres Humanos somos mucho, mucho más que máquinas sometidas a las leyes de la Física y demás ciencias de la Naturaleza. Los anhelos y convicciones de nuestra Esencia Humana no deben estar sometidas a las reglas culturales (como prohibir el homosexualismo) pues es pisotear el Potencial y la Dignidad de los Individuos. Somos Humanos y Ser Humano significa estar abierto a trillones de combinaciones. Las Normas Sociales, si bien se crean para armonizar la convivencia, cuando se convierten en limitadoras del Potencial Humano esclavizan de forma infame a los individuos. He ahí el porque, más de 70 años después, se busca homenajear al genio matemático cuyo aportación a la humanidad, si bien no alcanzó a salvar a todos de las desgracias de la guerra, sí ayudó a millones y eventualmente, a los aliados a concluir un conflicto bélico que amenazaba con durar más años. Cuando hacemos uso de todas nuestras potencialidades, incluyendo la inteligencia Lógico-Matemática, podemos ser más abiertos y podemos salvar vidas incluso. La invitación estimado lector, es ver esta extraordinaria película, para aprender a reconocer que mientras seamos más humanos, mientras más dispuesto estemos a abrirnos a posibilidades diferentes, estaremos ejerciendo con mayor plenitud nuestra Humanidad.
Modelado Matemático y el Eterno Problema de cómo solucionar Problemas
Si tiene solución, ¿para qué preocuparse?
Si no tiene solución, ¿para qué preocuparse?
Refrán Oriental
La primera vez que tuve que trabajar el planteamiento de un problema, no sabía cómo, no tenía ni idea de qué diablos hacer. Era segundo de primaria y el día que enseñaron eso había faltado por cuestiones familiares. Recuerdo que al final había que hacer una simple suma y que trataron de «sistematizar» la solución anotando una fila de datos, otra de operaciones y otra de resultados. Suena esto muy bonito cuando se tiene que resolver un asunto limitado a una operación básica aritmética, pero, ¿qué tal una probadita de un enunciado típico de una prueba de habilidades matemáticas?
«Una toma de agua llena un tanque en 6 horas y media. Otra, es capaz de llenar el mismo tanque en 5 horas, mientras una manguera de desagüe vacía el tanque el 8 horas. Si el tanque es llenado simultáneamente por las dos tomas de agua y si también está funcionando la manguera de desfogue, ¿en cuánto tiempo se llena el tanque?»
Cuando estamos frente a un enunciado de este tipo debemos cambiar el lenguaje común a lenguaje matemático para poder plantear una ecuación. He ahí el asunto. Hay muchas metodologías para conseguir ese proceso. Más allá de las reglas, se necesita comprender el fenómeno que queremos estudiar. Y, afortunadamente, cada fenómeno particular ya puede simularse mediante una aproximación en lenguaje matemátic0. Por ello se crearon las Matemáticas: para poder describir y cuantificar la naturaleza, poniéndola al servicio del Ser Humano.
Si eres o vas a ser estudiante de Ingeniería, o estás por decidirte para el área Físico-Matemáticas; ¿cómo ayudaría en tu rendimiento académico poder tener herramientas adecuadas para plantear adecuadamente cualquier enunciado y resolverlo con éxito? ¿Cómo te sentirías si pudieras ser capaz de agilizar tu mente para plantear el lenguaje matemático que resuelva un enunciado, por muy complicado que esté? Por ello, te invito a conocer mi propuesta de Taller de Modelado Matemático.
La idea de saber Modelar va más allá de crear ecuaciones. En la vida cotidiana, nos topamos con situaciones parecidas al párrafo que está entre comillas unas líneas más arriba. Esta habilidad se puede desarrollar mediante un adecuado conocimiento de los conceptos. Y podríamos incluso, extrapolar esta habilidad para analizar con detenimiento otros problemas comunes. Benjamin Franklin utilizaba una herramienta matemática para su toma de decisiones. He ahí el por qué, mientras más herramientas se conozcan, no sólo lograremos solucionar mejor un problema dado: es más probable que lleguemos a una respuesta óptima.
Tzolkin 