aprendizaje de matemáticas
¿Para qué rayos sirve el TCP (Trinomio Cuadrado Perfecto)?
Vivir es más que un derecho, es el deber de no claudicar al mandato de reflexionar qué es nacer, qué es morir, qué es el amor.
Luis Eduardo Aute
El Ser Humano es el resultado de más de 65 millones de años de evolución desde que surgieron los primeros protomamíferos. Pero sólo los últimos 4 millones de años, con la aparición del Homo Sapiens, con su impresionante inteligencia y conciencia, capaz de alterar su medio ambiente de forma drámatica y a veces irreversible, una herramienta surgida como consecuencia de la creación de la agricultura y la vida en comunidad, es la que ha llevado a este animal a esferas sólo pensadas para improbables dioses.
No hay progreso sin Matemáticas, así de simple. Todas las grandes civilizaciones antiguas tenían conocimientos empíricos desarrollados por grandes mente al servicio de la comunidad. Por mucho que algunos conspiranoides nos quieran vender la idea de que hubo ayuda extraterrestre en la construcción de grandes monumentos; sólo es posible confirmar que mediante un sofisticado sistema de conteo, con operaciones bien definidas o en su caso mediante aproximaciones que incluían las operaciones básicas, fue posible levantar las Pirámides de Gizah, la Calzada de los Muertos en Teotihuacán o los Jardínes Colgantes de Babilonia.
Pero la evolución no acarrea que todos piensen en términos pacíficos. Simultáneamente, la Guerra y el afán de conquista también fueron catalizadores para acelerar los conocimientos sobre el espacio y poder crear mejores armas, más letales y certeras. Al combinar está incipiente Aritmética con el conocimiento empírico de los materiales, surge la Tecnología. Este avance ocurre como sinergia de teoría y praxis, ensayo y error, probar y fallar. Esto es la base del Método Científico. Esto es lo que nos ha separado de las bestias: la inigualable capacidad de cimentar sus avances mediante numerosas herramientas, sean estas visibles o invisibles.
Así llegamos a la pregunta inicial: ¿para qué diantres sirve el Trinomio Cuadrado Perfecto? Así como un cuchillo lo utilizas en cada comida para facilitar la porción de alimento que vas a consumir y por tanto, muestras refinamiento, cultura y educación cuando lo utilizas adecuadamente, aprender Matemáticas no es una mera imposición educativa ni un capricho de las autoridades de la Secretaría de Educación o de la Organización de Cooperación para el Desarrollo Económico. Aprender Matemáticas hasta un nivel de Bachillerato (que incluye conceptos básicos de Cálculo Diferencial e Integral) es una muestra de civilidad, de refinamiento y sin duda, de persistencia, dedicación, orden mental, buen juicio y de disposición por extender la sabiduría personal. Como consecuencia de estas características, el que aprende Matemáticas a estos niveles desarrolla confianza en sí mismo, desarrolla la intuición, crea una estructura mental que le ayudará a tomar mejores decisiones y a comprender otros conceptos más complejos y fascinantes debido al desarrollo de la Ciencia y la Tecnología. Preguntar la utilidad práctica del Trinomio Cuadrado Perfecto es una pregunta que desdeña una puerta que abre un universo inmenso fascinante y lleno de inquietantes sorpresas que sirvieron para el desarrollo de todo el avance tecnológico que tenemos en este inicio del siglo XXI. Se trata de poder entrar a un sinfín de posibilidades, de comprender la magia que esconde el Cosmos y que no está oculto para unos pocos iluminados, sino disponible para todo aquel que quiera evolucionar. No basta con ser Homo Sapiens, hay que hacer lo necesario para que verdaderamente se note.
Cuando vuelvas a preguntar “para qué me sirve tal cosa de Matemáticas”, responde primero: ¿parte mi pregunta de un ansia de aprender o de una ilógica aversión?
Con aprecio para todos los que han sido mis estudiantes en la FI
¿Por qué tengo que aprender Matemáticas?
Cuando oigo, olvido.
Cuando veo, recuerdo.
Cuando hago, entiendo.
Calvin Coolidge
Somos seres hechos para aprender. Desde el primer minuto de nuestra existencia hasta el último segundo, estamos siendo bombardeados de miles de estímulos, que de una manera u otra, se fijarán en nuestra mente y nos darán alguna lección. Algunas no serán relevantes para nosotros, y he ahí el porque ciertas áreas del conocimiento no nos interesan, al grado de que discriminamos esos estímulos de manera automática. Al no darles importancia, no hay aprendizaje.
Sin embargo, de esas lecciones que desestimamos, ¿las podemos en algún momento pasar a la sección de importantes y necesarias, aún cuando creamos que no lo son? ¿Y qué pasa si las Matemáticas las tenemos en esta clasificación?
Al margen de que varios organismos de evaluación del aprendizaje o de medición del progreso y de la educación hagan recomendaciones del nivel de Matemáticas que las naciones o pueblos deban saber porque «son las normas y estándares», encuentro que aprender Matemáticas es una de las más grandes satisfacciones que los seres humanos podríamos alcanzar en la vida. Se trata de saber que sí podemos contra un «moustruo», contra un reto que desde niños nos han magnificado con falaces aseveraciones como «las matemáticas son difíciles», «las matemáticas no sirven porque voy a estudiar algo donde no las uso» y otras frases «Vox Populi» que no ayudan. No ayudan porque las matemáticas no son difíciles y porque las usamos todo el tiempo.
Las Matemáticas no son difíciles cuando ponemos nuestra mejor disposición, cuando hacemos los ejercicios adecuados, en el orden adecuado y tomando en cuenta las reglas de su juego. Un buen maestro de Matemáticas amigo mío dice que sólo hay dos tipos de razones por las que no aprendemos: que no aplicamos bien las reglas y que no realizamos suficientes ejercicios para adquirir soltura y seguridad.
Y aquí está el punto medular que quiero resaltar. La mejor razón para aprender Matemáticas es para adquirir esa sensación de logro, de victoria, de satisfacción personal. Es un estímulo que nadie te arrebatará, porque se trata de haber desafiado tus límites. Sacar 10 en un examen de Matemáticas es como haber metido el penal decisivo.
Ahora, muchos dicen que no usan Matemáticas en la vida diaria, y más si se trata de las Matemáticas aprendidas en el Bachillerato. Geometría Analítica, Cálculo, límites, logaritmos… son conocimiento absurdo que no aplican porque son abogados, médicos, diseñadores; porque son de carreras que no necesitan de Matemáticas Avanzadas para su profesión.
La razón para aprender Matemáticas cuando voy a estudiar un área que no tiene que ver con ellas es para subir nuestros niveles de pensamiento. Esto es, poder aprovechar más de nuestra fabulosa computadora personal llamada cerebro. Cuando resolvemos ejercicios matemáticos, estamos ejercitando neuronas, creando sinapsis, haciendo más amplia nuestra inteligencia lógica, pero también, la inteligencia espacial y la intuición. Por ejemplo, el Cálculo Integral, que requiere de todas los antecedentes matemáticos para resolver ejercicios de métodos de integración, demanda que pensemos por adelantado (intuyamos) antes de ponerse a realizar operaciones a lo loco. Y también está la cuestión de entender otras cosas que sólo están explicadas a través de Matemáticas. Otro ejemplo: la Intensidad Sísmica de la escala Richter, es una escala logarítmica. Si entendemos el concepto de logaritmo y sus implicaciones, nos quedará claro que una diferencia de un grado de escala Richter no es una nimiedad, sino un salto muy, muy considerable. Y si cultivamos más nuestra capacidad de aprender, será más fácil entender cuál es la lógica detrás del Sudoku y del cubo de Rubik.
Entonces, ¿para qué me sirve aprender Matemáticas? Para ser menos ignorante, para ser más sabio y obvio, para ser mejor persona.
¡Permíteme ayudarte en tu progreso con Matemáticas y Física!
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¿Por qué es importante salir de tu zona de comfort cuando requieres asesoría?
La crisis es la mejor solución bendición que puede sucederle a personas y países, porque la crisis trae progresos. La verdadera crisis es la crisis de la incompetencia. El inconveniente de las personas y los países es la pereza para encontrar las salidas y soluciones
Albert Einstein
En otras entradas de este blog he hablado acerca de la magia que trae el descubrimiento personal cuando nosotros mismos aprendemos a partir de nuestra propia búsqueda. Efectivamente, nos tenemos que mover: ya sea tomando un libro, leyendo los procedimientos y haciendo ejercicios. No hay atajos en la obtención del dominio de las matemáticas. Cierto que a algunos se les hace más sencillo la montaña que a otros, pero todo aquel que invierte su tiempo y su energía encuentra su recompensa.
En el tiempo que llevo dando asesorías, he notado que aquellos que están dispuestos a no hacer sólo lo mínimo indicado en la hora de clase, sino a «correr la milla extra», alcanzan sus metas trazadas. Aparte de la confianza en sí mismos que desarrollan, en todo momento estuvieron dispuestos a atravesar el umbral de la incomodidad. Vivieron su «crisis personal» disfrutándola y eventualmente esa etapa de incertidumbre se convierte en el escalón principal que los conduce a la victoria personal. Esto se llama pasar de la zona de comfort a la zona de incertidumbre. Y se trata de realizarlo literalmente.
Cuando el asesor se desplaza a los dominios del estudiante, para que éste «reciba la lección y aprenda», con frecuencia, termina más por perjudicarlo que por hacerle bien. ¿Quién es el que necesita aprender? ¿Quién es el que tiene que aportar su interés y su energía para superar su propia crisis? ¿Se podrá lograr este objetivo manteniéndose en una actitud pasiva de «ven a mi casa, a mi zona de comfort, donde no me permito expandirme ni atravesar mis límites»?
Sí, es cierto que queremos que las cosas sean fáciles, indoloras y mientras más rápido, mejor. Pero lo que tenemos que poner en el foco de atención es que mientras de aprendizaje se trata, estamos hablando de un proceso, que tiene su tiempo y su ritmo, y que también demanda esfuerzo y actitud. Queremos resultados pero no sembramos, o peor aún, sólo espacimos la semilla sin darle el sustento, sin enterrarla ni regarla para que los nutrientes de la tierra y la energía del sol hagan el resto. Cuando requieras una asesoría especial personalizada, si te mueves de tu domicilio y realizas el trabajo adicional, no conformándote con lo mínimo indispensable, sino verdaderamente tomando responsabilidad y asumirte haciendo los ejercicios que necesitas para superar tus propios límites, de verdad, te garantizo, que llegarás muy lejos.
Yo odio las Matemáticas
«Aquello que no te gusta, es tu mayor maestro», Proverbio Oriental
«Detesto las matemáticas con todas mis fuerzas». «Malditas matemáticas, para qué rayos existes». «Me chocan las matemáticas, son inútiles; ¿para qué las aprendemos si tenemos computadoras?». Estas frases que denotan una tremenda aversión, son de lo más común que escucho con frecuencia cuando me solicitan asesorías privadas. Me llama mucho la atención que, no sólo suelen ser adolescentes quienes más emiten estas quejas; sino que muchos de ellos son en verdad muy inteligentes. Lo que ocurre es que se siente frustrados porque sus calificaciones suelen ser bajas y caen en un círculo vicioso de «no me gustan-no sirven-no sirvo par ellas-las detesto-tengo bajas calificaciones».
Cuando he tenido que asesorar a chicos con esta situación, lo lógico es pedir un cambio de actitud. Lo lógico es pedir mirar con otros ojos la asignatura. Lo lógico es hacer más ejercicios. Lo lógico es trabajar con más ahínco. Lo lógico sería tener mejores resultados. ¿Sabes qué ocurrió? Exactamente lo contrario.
El odio o aversión a las matemáticas era tan fuerte en estos chicos, que ni Dios padre podría hacerlos cambiar de opinión. ¿Salvaron las materias? Sí, las salvaron con calificaciones suficientemente aprobatorias. Pero seguían equivocándose en ejercicios sencillos de resolver. Para los padres de familia podría ser esto un alivio. Para mí, como instructor, me quedaba con un sabor más agrio que dulce.
Ocurre que los seres humanos no somos lógicos. Tomamos decisiones más movidos por las emociones, que por el peso de los datos duros y la obviedad que las razones bien articuladas y ordenadas pueden aportar. No es que seamos totalmente instintivos; sino que al presentarse una decisión, con algún aspecto que nos remita a una sensación desagradable, es muy probable que la desechemos, por muy coherente y bien articulada que esté. Dicho marco de referencia para nuestra toma de decisiones lo hemos construido con el conjunto de todas las experiencias de vida que hemos afrontado. Se trata de un espacio dinámico siempre en construcción. Si esto es cierto, ¿qué podría ayudar a nuestros estudiantes dolidos?
Antes que nada, son ellos los que deben abrir la llave de la comprensión y la aceptación. Nadie más lo hará, y mucho menos se abrirá con insistencia externa. Aquí tendrían que preguntarse: ¿qué tan rápido quiero darle la vuelta a esto? Aún así, he encontrado una tendencia frecuente en los chicos que insisten en atormentarse por las matemáticas: poca o nula tolerancia a la frustración, producto de una niñez donde fueron extremadamente consentidos y recompensados de manera inmediata por sus progenitores. La recompensa inmediata inhibe la paciencia, que es la principal cualidad de las personas que aprenden a lidiar con los retos de la vida (y no sólo de las matemáticas) y les van minando su poder personal.
¿Existen soluciones? Sí. Nuevamente retomo el primer paso: la aceptación mediante la Responsabilidad Personal. No se trata de una resignación y decir «no tengo remedio, las matemáticas no son para mí». He comentado que las matemáticas son una herramienta. Así por ejemplo, ¿un cuchillo es malo en sí mismo? Ni es malo ni es bueno, tan sólo es un cuchillo. Dependiendo de para qué lo usemos, podríamos decir que es bueno o malo; tanto sirve para partir un pastel de cumpleaños como para clavarlo en el corazón de una persona. Pero aquí cualquier juicio es inútil para hablar de la naturaleza del mismo. Realmente está más allá del bien y del mal. Las Matemáticas están en una situación similar. Son una herramienta, y si no hemos tenido resultado con ellas, es porque no hemos aprendido a usarlas adecuadamente. Cualquier conclusión que emitamos por cómo las hemos usado, es meramente subjetiva.
El siguiente paso que habrá que tomar es revisar a conciencia qué estamos haciendo inadecuadamente. Tumbar una puerta para entrar a un lugar es una forma nada civilizada comparado con tomar una llave, darle vuelta a la chapa y bajar una palanca que hacen lo necesario y suficiente para abrir la misma. Tal vez, no te han enseñado a multiplicar o dividir de forma más efectiva. Tal vez no sepas algunos principios de divisibilidad o tal vez ignores que hay muchas formas elegantes de abrir la puerta que no sea estar picando las cerraduras hasta que caigan. Cada caso abría que revisarlo por separado. Se trata de identificar cómo usas la herramienta y descubrir mejores alternativas. Puedes usar el método cavernícola y te funcione, pero a la larga, te cansaras más y serás menos efectivo.
La siguiente situación será ahondar en la práctica a partir de que uno mismo busque los ejercicios y los haga. No esperar a que el profesor te diga qué hacer. Si eres proactivo, estas potencializando tu poder y tus avances verdaderamente los disfrutarás como nadie más (escucha mi propia experiencia cuando hice eso, aquí).
Asi que estimado lector/lectora, me encantaría que me platicaras si estas ideas pueden ayudarte. De verdad que harías mi día si con esto puedo contribuir a tus propios avances. Te deseo un gran día.
¿Existen trucos para aprender Matemáticas?
La verdadera magia es el (auto)descubrimiento
“Continuamente puedes superar los límites de lo que crees que puedes hacer” J.J. Thompson
“Sufro, sufro, sufro”, son las inmortales palabras de Demóstenes, miembro de la pandilla de Don Gato y que más de uno continuamente utiliza cuando de Matemáticas se trata. ¿Para qué sirve expresar esto? Será una pequeña catarsis o forma de liberar la frustración, pero lo cierto es que mientras te quedes lamentando tu situación, difícilmente avanzaras.
Con frecuencia me preguntan si hay algún atajo o forma más sencilla de aprender Matemáticas que no sea hacer ejercicios «tediosos y aburridos»; me preguntan también cómo le hice para vencer esos obstáculos y otros piensan que es tan sólo porque soy inteligente y tengo una mente privilegiada.
Le sorprendería a más de uno si le confieso algo: de niño ni remotamente pensaba en estudiar algo ligado a las Matemáticas; es más, realmente no fue hasta que estuve en la Secundaria (en el Colegio México de Acoxpa) cuando comencé a tener de manera recurrente excelentes calificaciones en Mate. Y también, confieso que no seguí ningún curso especial ni tomé clases en cierto Centro Japonés ni nada extraordinario como fuera el hecho de sentarme por mí mismo y resolver por mi cuenta los ejercicios del Baldor.
Resumo el “truco” en lo siguiente: “leer exhastivamente, hacer ejercicios y hacer más ejercicios”.
Por supuesto que hay una parte “técnica” que en ocasiones los libros no explican muy bien, y es ahí cuando tienes que preguntar al profesor. Afortunadamente, conté en esa etapa con buenos profesores, pero lo que personalmente me gustaba era hacer más ejercicios totalmente por mi cuenta. En verdad, la actitud define en un 80% tus logros.
Sin esfuerzo no hay ganancia
¿Qué ocurre entonces para que muchos tengan tantos retos con esta área del conocimiento? Más que pensar en las causas, porque hay tantas como personas en el planeta, me interesa colaborar en darle la vuelta a esta situación. Muchos jóvenes afirman que no les motiva hacer ejercicios, que las clases suelen ser aburridas, que la materia en sí es aburrida, que no sirve para nada porque hoy ya hay computadoras y calculadoras que resuelven todo. 7
“Sin esfuerzo no hay ganancia*”, es una frase usada por los estadounidenses para decir que muchas cosas que valen la pena sólo se alcanzan cuando nuestro trabajo y entusiasmo es mayor que cualquier obstáculo. Estamos viviendo tiempos en que les quitamos a los jóvenes cualquier dificultad, cualquier reto porque “no queremos que sufran lo que a nosotros nos costó haber logrado lo que somos y lo que tenemos”. Esta situación es un grave error por parte de los padres de familia. Efectivamente, los docentes tienen mucho que ver en cómo se facilita el aprendizaje. Sin embargo, los que aprenden y deben de poner todavía mayor energía son los estudiantes. Y muchas veces los hemos mal acostumbrado a que las cosas (incluida la escuela) deben de adaptarse a sus propios caprichos, formas, tiempos y estilos.
Los profesores no debemos convertirnos en arlequines en aras de facilitar el trabajo de los estudiantes. Podemos transmitir (eso sí) nuestra pasión por la materia, nuestro gusto y mostrar de diversas formas, y mientras más atractivas mejor; lo que la materia puede hacer por nosotros. Es cierto que necesitamos nuevas maneras de mostrar el conocimiento, principalmente las aplicaciones de lo que enseñamos. Pero sí podemos empujar para que sean nuestros estudiantes los que descubran lo que pueden hacer por ellos las Matemáticas y todas las ciencias que la utilizan. Eso sí, el aprendizaje sólo puede solidificarse si se trabaja de manera extra-clase.
Mi labor, como docente, es trabajar intensamente esta parte: mostrar que hay muchas aplicaciones, que son divertidas y que podemos seguir creando nuevas aplicaciones; además de resaltar la parte formativa, tanto del carácter como de las inteligencias lógico-matemática y espacial.
Para finalizar esta publicación, me encantaría que el lector participara, respondiendo a la pregunta: ¿qué te hubiera gustado que tu profesor de Matemáticas hubiera hecho por ti?
Tzolkin 